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线性方程组的解与系数行列式有关么?

楼主:掌上高等数学 时间:2019-01-17 06:38:48

空白

之前的学习中大家都了解甚至深入研究过线性方程组的各种解的问题,包括方程组的解法,有解的条件等等。那么线性方程组的几何意义方面呢?下面就请你跟着我的脚步去了解一下几何里的线性方程组。或许你会有意想不到的发现哦!









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首先,我们来看一下最简单也是大家最熟悉的二元一次方程组吧!


为了方便起见,我们就考虑由两个二元一次方程构成的二元一次线性方程组,这个方程组几何意义也比较简单,就是两条直线。而二元线性方程组的各种解的情况也对应着两条直线的不同的位置关系。



下面,我们展开来细致地讨论一下吧!



㈠当二元一次方程组有解的时候,就说明对应的两条直线有公共点,图像也能相对直观的看出来。

▲除了图像和理论分析,还有没有其他的方式来解释这件事呢?

▼当然有了!


●我们从行列式的角度来看看吧!


⑴当二元一次方程组有唯一解。方程对应系数比不相等,即:



说明方程对应两直线的系数行列式的不等于0。




举个简单的例子(我们用D来表示系数行列式)


例1 : 考虑下列方程组的解的情况。


我们很容易就可以判断出该方程组有解。

 ▲那从向量(vector)和行列式(Determinant)的角度又会是什么样呢?


▼该二元一次方程组对应两直线的方向向量相交,则二元一次方程组对应系数行列式



两向量有交点,即该方程组有唯一解。




⑵ 线性方程组的解不唯一方程组对应的两条直线重合,直线对应系数成比例,即:




▲那么从行列式的角度应该如何考虑呢?

▼还是先来看一个例子吧。


例2:讨论如下方程组的解的个数。


解:设


则:



则有该方程组对应的两条直线重合,有无数个解(Infinite many solutions)。



㈡当二元一次方程组无解的时候,就说明对应的两条直线没有公共点(互相平行),满足:



●同样,我们还是从向量和行列式的角度来看一下。


例3:讨论下列方程组的解的个数。


解:设


则:

      


    



分别是x轴,y轴和z轴的单位向量


该方程组对应的两条直线平行,方程组无解。



由以上几种讨论可以知道:


二元一次方程组可以根据其系数组成的向量的差积(即向量的相关性)或者系数行列式的值来判断方程组的解的情况。



▲如果我们考虑一个由三个三元一次方程构成的三元一次方程组,这个三元一次方程组是否也可以用类似的方法来讨论其解的情况呢?

▼答案当然是肯定的啦。现在就请大家跟着我的思路,走进三元一次方程组的讨论吧!

▲二元线性方程组可以用系数行列式和直线的方向向量来表示,那么类比一下,三元线性方程组呢?



我们先找个例子来简单的看一下啊!


例4:讨论下列方程组的解的情况。


(方程组有无限解)


我们可以知道该三元一次方程组的系数行列式如下:



▲那么是不是说明,方程组有无限解,则系数行列式结果为0呢?

▲方程组有唯一非零解呢?系数矩阵行列式会怎么样呢?


我们再来看一个例子啊!


例5:讨论该方程组的解的情况。


(有唯一解)


它的系数行列式如下:


▲三元一次方程组的解的情况和它的系数行列式结果是否为0好像有点关系,但是它具有普适性吗?

▼事实证明,确实有关系。




在这里,小编总结定理如下:


3个线性方程构成3元齐次线性方程组:

(a) 系数行列式D≠0,则线性方程组有唯一解,即平凡解(Trivial solution)。 

(b)系数行列式D=0,则线性方程组有无穷多解。

 

3个线性方程构成3元非齐次线性方程组:

(a)系数行列式D≠0,则线性方程组有唯一解。

(b)系数行列式D=0,则线性方程组可能有无穷解、也可能没有解哦。

 



此时,如果把方程组中的每一个式子看成一个平面,方程组解的情况可以从几何图形的角度表现出来,我们来讨论一下具体情况:



⑴当D≠0时方程组有唯一解


图形说明:三个平面交于一点。



⑵当D=0时方程组的解存在多种情况


①方程组有无数解



 图形说明:有两个平面重合与第三个平面相交于一条直线。



图形说明:三个平面两两交于一条直线。



图形说明:三个平面重合。



②方程组无解


图形说明:三个平面相交,围成一个三棱拄



图形说明:两个平面重合与第三个平面平行。




图形说明:三个平面相互平行不重合。




实际上,对于一个由n个n元一次方程组成的线性方程组来说,我们有一些更一般的结论:

(a)系数行列式D≠0,则线性方程组是有唯一解,我们还可以用克莱姆法则(Cramer's Rule)直接得到结果呢。
(b)系数行列式D=0,则线性方程组可能有无穷解、也可能没有解哦。这种情况相对比较复杂,我们在这暂时不展开讨论,感兴趣的同学可以研究一下。



参考文献:

蒋春. 线性方程组的几何意义与矩阵之间的关系[D]




                供稿:北京理工大学  李永鹏(原创)

编辑:北京理工大学  刘梦真


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